(nacido en Milán, Italia, probablemente en 1598; fallecido en Bolonia, Italia, el 30 de noviembre de 1647). matemáticas.

La fecha de nacimiento de Cavalieri es incierta; el valle dado anteriormente es el citado por Urbano d’Aviso, un discípulo y biógrafo de Cavalieri. El nombre de Bonaventura no era su nombre de bautismo, sino el de su padre. Es el nombre que el matemático adoptó cuando, de niño, ingresó en la orden religiosa Jesuati, adherentes a la regla de San Agustín. Cavalieri fue recibido en las órdenes menores en Milán en 1615 y en 1616 transferido al monasterio Jesuati de Pisa, donde tuvo la suerte de conocer al monje Benedetto Castelli, que había estudiado con Galileo en Padua y en ese momento era profesor de matemáticas en Pisa. A través de él, Cavalieri se inició en el estudio de la geometría. Absorbió rápidamente las obras clásicas de Euclides, Arquímedes. Apolonio y Papo, demostrando una aptitud tan excepcional que a veces sustituyó a su profesor en la Universidad de Pisa. Fue presentado por Castelli a Galileo, cuyo discípulo siempre se consideró a sí mismo. Escribió a Galileo al menos 112 cartas, que se incluyen en la edición nacional de la Opere di Galileo; sin embargo, solo dos de las cartas de Galileo a Cavalieri han llegado a nosotros.

En 1620, Cavalieri regresó a Roma bajo las órdenes de sus superiores, y en 1621 fue ordenado diácono del cardenal Federigo Borromeo, quien tenía a Frey Bonaventura en gran estima y con gusto discutía matemáticas con él; el cardenal posteriormente escribió una carta recomendándole a Galileo. Cavalieri apenas tenía veintiún años cuando enseñó teología en el monasterio de San Girolamo en Milán, atrayendo la atención por su profundo conocimiento del tema.

Durante su período de Milán (1620-1623) Cavalieri desarrolló sus primeras ideas sobre el método de los indivisibles, su mayor contribución a las matemáticas. De 1623 a 1626 fue prior de San Pedro en Lodi. Más tarde fue huésped en Roma de Monseñor Ciampoli, a quien más tarde dedicó su Geometria. De 1626 a 16291 fue prior del monasterio de los Jesuitas en Parma, con la esperanza en vano de ser nombrado profesor de matemáticas en la universidad de allí. En el otoño de 1626, durante un viaje de Parma a Milán, cayó enfermo de gota, de la que había sufrido desde la infancia y que lo atormentaría hasta el final de su vida. Esta enfermedad lo mantuvo en Milán durante varios meses. El 16 de diciembre de 1627 anunció a Galileo y al cardenal Borromeo que había completado su Geometria. En 1628, al enterarse de que un puesto de profesor en Bolonia había quedado vacante a causa de la muerte del astrónomo G. A. Magini, escribió Galileo para obtener ayuda en el nombramiento. Galileo, en 1629, escribió a Cesare Marsili, un caballero de Bolonia y miembro de la Accademia dei Lincei, que había recibido el encargo de encontrar un nuevo profesor de matemáticas. En su carta, Galileo dijo de Cavalieri: «pocos, si es que alguno, desde Arquímedes, han profundizado tanto en la ciencia de la geometría. En apoyo de su aplicación a la posición de Bolonia, Cavalieri envió a Marsili su manuscrito de geometría y un pequeño tratado sobre secciones cónicas y sus aplicaciones en óptica. El testimonio de Galileo, como Marsili le escribió. Indujo a los «Caballeros del Regimiento» a confiar la primera cátedra de matemáticas a Cavalieri, que la ocupó continuamente desde 1629 hasta su muerte.

Al mismo tiempo fue nombrado prior de un convento de su propia orden en Bolonia, específicamente, en la Iglesia de Santa Maria della Mascarella, lo que le permitió proseguir sin ningún impedimento tanto su trabajo en matemáticas como su enseñanza universitaria. Durante el período en el que Cavalieri enseñó en Bolonia, publicó once libros en esa ciudad, incluida la Geometria (1635).

La teoría de Cavalieri, tal como se desarrolló en este trabajo y en otros publicados posteriormente, se relaciona con una investigación en infinitesimales, derivada del interés revivido en las obras de Arquímedes, que durante el Renacimiento se tradujeron del griego al latín, con comentarios. Se citan las traducciones de Tartaglia, Maurolico y Commandino, ya que sirvieron como punto de partida para nuevos desarrollos matemáticos.

Los únicos escritos de Arquímedes conocidos por los matemáticos del siglo XVII fueron aquellos basados en el estricto método de agotamiento, por el cual los matemáticos antiguos trataban cuestiones de carácter infinitesimal sin recurrir al infinito o al infinitesimal real. Sin embargo, los grandes matemáticos del siglo XVII estaban tan profundamente impregnados del espíritu de Arquímedes como para apreciar que, además del «método de agotamiento», los antiguos geométricos debían haber conocido un método más manejable y efectivo para la investigación. Sobre este punto Torricelli escribió:

No debería atreverme a afirmar que esta geometría de indivisibles es en realidad un nuevo descubrimiento. Más bien creo que los antiguos geométricos se valieron de este método para descubrir los teoremas más difíciles, aunque en su demostración pueden haber preferido otra forma, ya sea para ocultar el secreto de su arte o para no permitir ninguna ocasión para la crítica por parte de detractores odiosos. Fuera lo que fuera, es cierto que esta geometría representa una maravillosa economía del trabajo en las manifestaciones y establece innumerables teoremas, casi inescrutables, por medio de demostraciones breves, directas y afirmativas, de las que la doctrina de los antiguos era incapaz. La geometría de los indivisibles era de hecho, en el matorral matemático de brezo, el llamado camino real, y uno que Cavalieri abrió por primera vez y presentó al público como un dispositivo de invención maravillosa .

En 1906, J. L. Heiberg encontró, en un palimpsesto perteneciente a una biblioteca de Constantinopla, una pequeña obra de Arquímedes en forma de carta a Eratóstenes, que explicaba un método por el cual se podían determinar los volúmenes y centros de gravedad. Este método, que a su vez estaba relacionado con los procedimientos de Demócrito de Abdera, consideraba una superficie plana como compuesta de acordes paralelos a una línea recta dada, y sólidos como compuestos de secciones planas paralelas entre sí. Además, según Arquímedes, se aplicaban principios de estática, donde las figuras, consideradas como cuerpos pesados, se pesaban en una escala ideal. «Creo», dijo Arquímedes, «que los hombres de mi tiempo y del futuro, y a través de este método, podrían encontrar otros teoremas que aún no me han venido a la mente» (Rufini , II «Método» di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell’antichità, p. 103). El desafío que Arquímedes extendió no fue asumido, como sabemos, por sus contemporáneos y cayó en el olvido durante muchos siglos.

El concepto de indivisibles a veces aparece fugazmente en la historia del pensamiento humano: por ejemplo, en un pasaje del filósofo y matemático hebreo del siglo XI Abraham bar Hiyya (Savasorda); en especulaciones ocasionales-más filosóficas que matemáticas—de los escolásticos medievales; en un pasaje de Leonardo da Vinci; en Nova stereometria doliorum de Kepler (Linz, 1615). Por una concepción diferente de la de Cavalieri, los indivisibles son tratados por Galileo en su Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.

En Cavalieri llegamos a una sistematización racional del método de los indivisibles, un método que no solo se considera útil en la búsqueda de nuevos resultados, sino que también, contrariamente a lo que Arquímedes asumió, se considera válido, cuando se modifica adecuadamente, para demostrar teoremas.

En este punto surge una pregunta primaria: ¿Qué importancia atribuyó Cavalieri a sus indivisibles? Este matemático, si bien está perfectamente familiarizado con las sutiles cuestiones filosóficas relacionadas con el problema de la posibilidad de constituir magnitudes continuas por indivisibles, busca establecer un método independiente de las hipótesis del sujeto, que sería válido sea cual sea el concepto que se forme al respecto. Mientras Galileo afirmaba,» Lo más elevado y lo último, aunque componentes primarios de lo continuo, son infinitos indivisibles » (Opere, VII, 745-750),

Cavalieri no se atrevió a afirmar que lo continuo está compuesto de elementos indivisibles, sobre los cuales no dio una definición explícita, ni aclaró si eran infinitesimales reales o potenciales. También es probable que la concepción de Cavalieri de sus indivisibles sufrió un cambio y que estos nacieron como infinitesimales reales (como los de Galileo) y crecieron para convertirse en infinitesimales potenciales (véase G. Cellini). Debe señalarse además, según L. Lombardo Radice, que la visión Cavalieri de los indivisibles nos ha dado una concepción más profunda de los conjuntos: no es necesario que los elementos del conjunto sean asignados o asignables; más bien, basta con que exista un criterio preciso para determinar si un elemento pertenece o no al conjunto.

Al margen de cualquier consideración filosófica sobre la naturaleza de los indivisibles, las determinaciones de área y volúmenes realizadas por Cavalieri se basan en el principio que lleva su nombre, que puede formularse de la siguiente manera:

Si dos figuras planas cortadas por un conjunto de líneas rectas paralelas se cruzan, en cada una de estas líneas rectas, acordes iguales, las dos figuras son equivalentes; si los acordes pertenecientes a una sola línea recta del conjunto tienen una relación constante, la misma relación se obtiene entre las dos figuras.

Del mismo modo, en el espacio: si las secciones de dos sólidos obtenidas por medio de planos paralelos entre sí son equivalentes de dos en dos, los dos sólidos son equivalentes; si las dos secciones obtenidas con un plano dado tienen una relación constante cuando el plano es variado, los dos sólidos tienen una relación que es igual a la de dos de sus secciones obtenidas con un mismo plano.

Desde el punto de vista del análisis infinitesimal moderno, el principio de Cavalieri afirma en sustancia que dos integrales son iguales si las integrales son iguales y los límites de integración también son iguales. Además, una constante que aparece como un multiplicador en el integrando puede llevarse a cabo del signo de integración sin causar que el valor de la integral varíe.

Sin embargo, el concepto de integral, de acuerdo con la definición de A. Cauchy, no estaba precisamente en el pensamiento matemático de Cavalieri, sino que fue estudiado por P. Mengoli, su discípulo y sucesor en la cátedra de Bolonia. Cavalieri siguió muchos caminos para demostrar su principio, y se encuentran en el Libro VII de su Geometría.

Consideremos el caso en geometría plana, donde, en las hipótesis del principio declarado, los acordes correspondientes de las figuras dadas son iguales en pares (ver Fig. 1). Cavalieri entonces, a través de una traducción en la dirección de las líneas rectas paralelas en cuestión, superpone dos acordes iguales. Las partes de la figura que así se superponen son, por lo tanto, equivalentes o, mejor dicho, iguales, porque son congruentes. Las partes restantes, o residuos, que no se superponen, seguirán satisfaciendo las condiciones relativas a los acordes que se satisfacían en la figura original. De esta manera, se puede proceder con superposiciones sucesivas por traducción, y es imposible en un punto dado de las operaciones sucesivas que una figura se agote a menos que la otra también se agote. Cavalieri concluye

que las cifras dadas son, por lo tanto, equivalentes. El argumento es ingenioso e intuitivo, pero contiene un punto débil en el sentido de que no se prueba que los residuos, en las operaciones descritas,se agoten ;ni se establece que la suma de tales residuos pueda hacerse menos que una superficie dada. Sin embargo,Cavalieri, en respuesta a las objeciones planteadas por Guldin,afirma que la eliminación de los residuos en una de las figuras, y por lo tanto en la otra, se puede realizar mediante operaciones infinitas. La otra demostración

del principio de Cavalieri se realiza por el método de agotamiento de los antiguos y es rigurosa para las figuras que cumplen ciertas condiciones: es decir, la demostración es válida para figuras que, además de satisfacer la hipótesis del principio, caen en una de las siguientes clases:

(1) Paralelogramos generalizados, es decir, figuras incluidas entre rectas paralelas p y l que intersecan acordes de longitud constante en rectas que corren en la misma dirección que p y l (ver Fig. 2).

(2) Las figuras en alteram partem deficientes («figuras deficientes en otra parte») se incluyen entre dos líneas paralelas p y l y, además, los acordes interceptados por una línea transversal paralela a p disminuyen a medida que aumenta la distancia de la transversal a la línea recta p (ver Fig. 3).

(3) Figuras que pueden desglosarse en un número finito de partes pertenecientes a cualquiera de las dos clases mencionadas anteriormente (ver Fig. 4).

A pesar de las demostraciones mencionadas y del éxito del método de los indivisibles, los matemáticos contemporáneos, que estaban más apegados a las tradiciones de la matemática clásica, entraron en una polémica con Cavalieri, sin saber que el propio Arquímedes ya había utilizado métodos similares a los que se oponían. Tal es el caso de Guldin, que tuvo una interesante discusión con Cavalieri que se resume en el ejercicio III del sexo Exercitationes geomeiricae.

Muchos resultados que se obtuvieron laboriosamente por el método de agotamiento se obtuvieron simple y rápidamente a través del principio de Cavalieri: por ejemplo, el área de una elipse y el volumen de una esfera. A través de sus métodos, Cavalieri había encontrado el resultado que en los símbolos de hoy se expresaría como:

para cualquier número natural n (n = 1,2,3,…). Cavalieri no sabía que este resultado, que aparece en la Centuria di varii problemi (1639), ya había sido encontrado en 1636 por Fermat y Roberval, que habían llegado a él por otros medios.

Por medio del método de los indivisibles y basado en un lema establecido por su alumno G. A. Rocca, Cavalieri probó el teorema de Guldin sobre el área de una superficie y el volumen de sólidos rotativos. Este teorema, que también aparece en ciertas ediciones de las obras de Pappus, aunque se considera una interpolación, se enunció en el Centrobaryca de Guldin, que demostró su exactitud en ciertos casos particulares, sin, sin embargo, proporcionar la prueba general.

El progreso más significativo en el campo del análisis infinitesimal a lo largo de las líneas establecidas por Cavalieri fue realizado por Evangelista Torricelli. En su Arithmetica infinitorum (1655), John Wallis también hace uso de indivisibles.

Especialmente interesante es la opinión del método Cavalieri expresada por Pascal en sus Letires de Dettonville (1658): «Todo lo que se demuestra por las verdaderas reglas de los indivisibles también y necesariamente se demostrará a la manera de los antiguos. Por lo que, en lo que sigue, no dudaré en utilizar el lenguaje mismo de los indivisibles.»Aunque en los años siguientes en el campo del análisis de lo infinitesimal, las nuevas ideas reemplazaron a las viejas sobre los indivisibles, los métodos de Cavalieri y Torricelli ejercieron una profunda influencia, como reconoció Leibniz en una carta a G. Manfredi:» in en lo más sublime de la geometría, los iniciadores y promotores que realizaron la tarea de un yeoman en ese campo fueron Cavalieri y Torricelli; más tarde, otros progresaron aún más aprovechando el trabajo de Cavalieri y Torricelli.»Por otra parte, Newton, mientras asumía en sus Principia una actitud crítica en materia de indivisibles, sin embargo, en su Tractatus de quadratura curvarum, usó el término fluens para indicar una magnitud variable, un término utilizado previamente por Cavalieri en su Exercitiones geomeiricae sex.

En la proposición I del Libro I de la Geometria, encontramos en forma geométrica el teorema del valor medio, también conocido como teorema de Cavalieri. El teorema se presenta como la solución del siguiente problema: Dada una curva plana, provista de una tangente en cada punto y pasando por dos puntos A y B, para encontrar una línea recta paralela a AB y tangente a la curva en algún punto de la curva entre A y B. Analíticamente tenemos: Si la función real f(x) de la variable real x es continua en el intervalo (a, b) y en cada punto dentro de este intervalo es diferenciable, al menos un punto de existe tal que a<<b, de modo que los logaritmos

se introdujeron en las matemáticas en el trabajo de Napier en 1614. En Italia, estos valiosos auxiliares para el cálculo numérico fueron introducidos por Cavalieri, junto con notables desarrollos en trigonometría y aplicaciones a la astronomía. En este sentido podríamos mencionar Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639), y Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (1643). El Directorium, la Pratica y la Trigonometría contienen, además, excelentes tablas logarítmicas-onométricas.

En la Centuria, Cavalieri trató temas como la definición general de superficies cilíndricas y cónicas, fórmulas para determinar el volumen de un barril y la capacidad de una bóveda con arcos apuntados, y los medios para obtener de los logaritmos de dos números el logaritmo de la suma o de la diferencia, un problema que posteriormente fue abordado por varios matemáticos. Gauss, entre otros. Lo specchio ustorio («El vidrio Ardiente») contiene algunos datos históricos interesantes sobre el origen de la teoría de las cónicas entre los griegos; según Cavalieri, los orígenes se encuentran en los requisitos gnomónicos. En este trabajo, encontramos una teoría de cónicas con aplicaciones a la óptica y la acústica. Entre los primeros, destacamos la idea del telescopio reflector, del cual, según Piola y Favaro, Cavalieri fue el primer inventor, precediendo a Gregory y Newton; determinación de la distancia focal de una lente de esfericidad desigual y explicaciones del vidrio ardiente de Arquímedes, En el campo de la acústica, Cavalieri intentó la reconstrucción arqueológica de los jarrones resonantes mencionados por Vitruvio y utilizados en teatros para amplificar el sonido.

En este trabajo, aparecen varias construcciones puntuales de conies. Más interesantes aún son las construcciones dadas en las Geometrías y en las Exercitationes, obtenidas por medio de lápices proyectivos que precedieron el trabajo de Steiner.

Una cuestión delicada se refiere a las actividades astrológicas que Cavalieri realizaba en virtud de su cargo, pero, como señaló D’Aviso, se oponía a las predicciones basadas en la posición de las estrellas y los estados así al final de su Pratica astrológica.

BIBLIOGRAFÍA

I. Obras Originales. Las obras de Cavalieri incluyen Directorium generate uranometricum (Bolonia, 1632); Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bolonia, 1635; 2a ed., 1653). Traducido al ruso por S. J. Lure (Moscú-Leningrado, 1940). Traducido al italiano, B Luc Lucio Lombardo-Radice, como geometría de Indivisibles por Bonaventura Cavalieri, i Compendio de las reglas de los triángulos con sus demostraciones( Bolonia, 1638); Centuria di varii problemi (Bolonia, 1639); Nuova pratica astromlogica (Bolonia, 1639); Tabla logarítmica Prima. Segunda tabla logarítmica. Anotaciones en la obra, y correcciones de los errores más notables( Bolonia, s. d.); apéndice de la nueva práctica astrológica (Bolonia. 1640); Triganometria plana, ET sphaerica, linearis et logarithmica (Bolonia, 1643); Tratado sobre la rueda planetaria perpetua (Bolonia, 1646); y geometr

II. Lit Secundaria Véase U. D’aviso, «vida de P. Buonaventura Cavalieri», en Tratado de La Esfera (Roma, 1682); G. Piola, alabanza de Bonaventura Cavalieri (Milán, 1844); A. Bonaventura Cavalieri en el estudio de Bolonia (Bolonia, 1885); E. Bortolotti, «el progreso del método infinitesimal en the geometric work of Torricelli», en periódico de matermatiche, 4a ser., 8 (1928), 19–59; «The discovery and subsequent generalizations of a fundamental theorem of Integral Calculus», en Archivio di Storia della scienza (1924), pp.205-227; F. Conforto, «the scientific work of Bonaventura Cavalieri and Evangelista Torricelli», en Proceedings of the Pisa conference (23-27 Sept. 1948), pp 35-56; A. Masotti. «Commemoration of Bonaventura Cavalieri», en reports Moderna Lstituto Lombardo di scienze e lettere, part generable and official acts, 81 (1948), 43-86; G. Castelnuovo, the origins of infinitesimal calculus in the modern era (Milán, 1962), pp.43-53; G. Cellini. «The Indivisibles in the mathematical and philosophical thought of Bonaventure Cavalieri», en Journal of mathematics, 4th ser., 44 (1966), 1-21; «the Knights demonstrations of his., principle», ibíd., pp 85-105.

Ettore Carruccio