overvej følgende spil: Jeg skriver ned et tilfældigt reelt tal mellem 0 og 1, og beder dig om at gætte det. Hvad er sandsynligheden for, at du gætter det korrekt? Svaret er nul. Du undrer dig måske: “men det er muligt for mig at gætte det rigtige svar! Det betyder, at sandsynligheden skal være mere end nul!”og du ville være berettiget til at undre dig, men du ville tage fejl. Det er rigtigt, at begivenheder, der er umulige, har nul sandsynlighed, men det omvendte er ikke sandt generelt. I resten af dette indlæg viser vi, hvorfor svaret ovenfor faktisk var nul, og hvorfor dette ikke behøver at gøre uoprettelig skade på dit nuværende verdensbillede.

lad os begynde med at vise, at sandsynligheden for at du gætter mit nummer rigtigt er nul. Lad være den pågældende Sandsynlighed. Ideen er at vise, at for ethvert positivt reelt tal . Vi ved, at , og hvis det er mindre end noget positivt tal, så skal det være nul! Argumentet er som følger. Lad os ringe til det nummer, jeg tilfældigt valgte . Forestil dig, at intervallet er malet hvidt. Vælg ethvert positivt reelt tal . Så er der et underinterval af længde inden for intervallet indeholdende . Forestil dig, at dette underinterval er malet sort, så nu har vi en sort strimmel af længde på den originale hvide strimmel, og nummeret jeg valgte var i den sorte strimmel. Hvad er sandsynligheden for, at dit gæt lander på den sorte strimmel? Det skal være , da det er andelen af den hvide strimmel, der er dækket. Men for at dit gæt skal svare til mit nummer , skal det lande i den sorte strimmel, så din sandsynlighed af gætte kan ikke være større end sandsynligheden for at gætte et tal på den sorte strimmel! Derfor .

Du skal nu være overbevist om, at denne begivenhed faktisk har nul sandsynlighed for at ske, men det er stadig sandt. Dette fænomen skyldes følgende geometriske kendsgerning: det er muligt at have et ikke-tomt sæt med nul “volumen”. Udtrykket” volumen “afhænger af konteksten; i tilfælde af punktet på intervallet er” volumen ” længde. Sandsynligheden for en begivenhed målt på intervallet er lig med dens længde, og et enkelt punkt på intervallet har nul længde, men det er stadig en ikke-tom delmængde af intervallet! Sandsynlighed er dybest set et mål for “volumen”, hvor hele rummet har “volumen” svarende til 1. Ved at definere sandsynlighed på denne måde kan vi bevise alle slags pæne fakta ved hjælp af noget, der kaldes målteori.

for at opsummere skulle du have lært følgende fra dette indlæg:

• sandsynligheden for tilfældigt at vælge et bestemt tal i intervallet er lig med nul
• begivenheder, der har nul sandsynlighed, er stadig mulige