(f. Milano, Italien, sandsynligvis 1598; D. Bologna, Italien, 30.November 1647). matematik.Cavalieris fødselsdato er usikker; dale givet ovenfor er den, der er Citeret af Urbano d ‘ aviso, en discipel og biograf af Cavalieri. Navnet Bonaventura var ikke hans dåbsnavn, men snarere hans fars. Det er navnet matematikeren vedtog, da han som dreng kom ind i den Jesuati religiøse orden, tilhængere af St. Augustins styre. Cavalieri blev modtaget i de mindre ordrer i Milano i 1615 og i 1616 overført til Jesuati kloster i Pisa, hvor han havde held til at møde Benediktiner munk Benedetto Castelli, der havde studeret med Galileo på Padua og var på det tidspunkt en lektor i matematik på Pisa. Gennem ham Cavalieri blev indledt i studiet af geometri. Han absorberede hurtigt de klassiske værker af Euclid, Archimedes. Apollonius og Pappus, der demonstrerede en sådan usædvanlig evne, at han undertiden erstattede sin lærer ved Universitetet i Pisa. Han blev introduceret af Castelli til Galileo, hvis Discipel han altid betragtede sig selv. Han skrev Galileo mindst 112 breve, som er inkluderet i den nationale udgave af opere di Galileo; kun to af Galileos breve til Cavalieri er dog kommet ned til os.i 1620 Cavalieri vendte tilbage til Rom efter ordre fra sine overordnede, og i 1621 blev han ordineret en diakon til kardinal Federigo Borromeo, der holdt from’ Bonaventura i stor agtelse og gerne drøftet matematik med ham; kardinal efterfølgende skrev et brev rose ham til Galileo. Cavalieri var næppe enogtyve, da han underviste i teologi ved klosteret San Girolamo i Milano og tiltrak opmærksomhed ved hans dybe viden om emnet.under hans Milan periode (1620-1623) Cavalieri udviklet sine første ideer om metoden for udelelige, hans store bidrag til matematik. Fra 1623 til 1626 var han den forudgående af St. Peters på Lodi. Senere var han gæst i Rom af Monsignor Ciampoli, til hvem han senere dedikerede sin Geometria. Fra 1626 til 16291 var han forud for klosteret Jesuati i Parma, håber forgæves at blive udnævnt lektor i matematik på universitetet der. I efteråret 1626, under en tur fra Parma til Milano, blev han syg med gigt, som han havde lidt siden barndommen, og som skulle plage ham til slutningen af sit liv. Denne sygdom holdt ham i Milano i et antal måneder. Den 16. December 1627 meddelte han til Galileo og kardinal Borromeo, at han havde afsluttet sin Geometria. I 1628 lærte han, at en stilling som lektor ved Bologna var blevet ledig gennem astronomen G. A. Maginis død, skrev han Galileo for at få hjælp til at sikre udnævnelsen. Galileo, i 1629, skrev til Cesare Marsili, en herre af Bologna og medlem af Accademia dei Lincei, der havde fået til opgave at finde en ny underviser i matematik. I sit brev sagde Galileo om Cavalieri, ” få, hvis nogen, siden Archimedes, har dykket så langt og så dybt ned i videnskaben om geometri.”Til støtte for sin ansøgning til Bologna-stillingen sendte Cavalieri Marsili sit geometrimanuskript og en lille afhandling om koniske sektioner og deres anvendelser inden for optik. Galileos vidnesbyrd, som Marsili skrev ham. Induceret “herrer Regiment” at overlade den første stol i matematik til Cavalieri, der holdt det kontinuerligt fra 1629 til sin død.

samtidig blev han udnævnt forud for et kloster af sin egen orden i Bologna, specifikt, ved kirken Santa Maria della Mascarella, gør det muligt for ham at forfølge uden nogen hindring både hans arbejde i matematik og hans universitet undervisning. I den periode, hvor Cavalieri underviste i Bologna, udgav han elleve bøger i den By, herunder Geometria (1635).Cavalieris teori, som udviklet i dette værk og i andre efterfølgende offentliggjort, vedrører en undersøgelse i uendelige dyr, der stammer fra genoplivet interesse for Archimedes’ værker, som under renæssancen blev oversat fra græsk til Latin, med kommentarer. Oversættelserne af Tartaglia, Maurolico og Commandino citeres, da de tjente som udgangspunkt for nye matematiske udviklinger.

de eneste skrifter af Archimedes kendt til syttende århundrede matematikere var dem, der er baseret på den strenge metode til udmattelse, hvorved de gamle matematikere behandlet spørgsmål af en infinitesimal karakter uden brug af det uendelige eller til den faktiske infinitesimal. Ikke desto mindre var de store matematikere i det syttende århundrede så grundigt gennemsyret af Archimedes ‘ ånd at forstå, at de gamle geometrikere ud over “udmattelsesmetoden” må have kendt en mere håndterbar og effektiv metode til forskning. På dette punkt skrev Torricelli:

Jeg burde ikke tør bekræfte, at denne geometri af udelelige er faktisk en ny opdagelse. Jeg ville hellere tro, at de gamle geometrikere benyttede sig af denne metode for at opdage de vanskeligere sætninger, skønt de i deres demonstration måske har foretrukket en anden måde, enten at skjule hemmeligheden bag deres kunst eller ikke give nogen anledning til kritik af uheldige modstandere. Uanset hvad det var, er det sikkert, at denne geometri repræsenterer en vidunderlig arbejdsøkonomi i demonstrationerne og etablerer utallige, næsten uudgrundelige, sætninger ved hjælp af korte, direkte og bekræftende demonstrationer, som de ældres lære ikke var i stand til. Geometri udelelige var faktisk, i den matematiske briar bush, den såkaldte royal road, og en, Cavalieri først åbnet og lagt ud for offentligheden som en anordning af forunderlige opfindelse .

i 1906 J. L. Heiberg fundet, i en palimpsest tilhører en Konstantinopel bibliotek, et lille værk af Archimedes i form af et brev til Eratosthenes, som forklarede en metode, som er som, mængder, og tyngdepunkter kunne bestemmes. Denne metode, som igen var relateret til procedurerne for Democritus af Abdera, betragtede en plan overflade som sammensat af akkorder parallelt med en given lige linje og faste stoffer som sammensat af plane sektioner parallelt med hinanden. Derudover blev der ifølge Archimedes anvendt principper for statik, hvor tallene, der blev betragtet som tunge kroppe, blev vejet i en ideel skala. “Jeg tror,” sagde Archimedes,” at mænd i min tid og i fremtiden, og gennem denne metode, kan finde endnu andre teoremer , som endnu ikke er kommet til mig “(Rufini, II” Metodo “di Archimedee le origini del calcolo infinitesimale nell’ antichit Christ, s. 103). Udfordringen, som Archimedes udvidede, blev ikke taget op, som vi ved, af hans samtidige og faldt i glemsel i mange århundreder.begrebet udelelige dukker undertiden flygtigt op i den menneskelige tankes historie: for eksempel i en passage af det ellevte århundredes hebraiske filosof og matematiker Abraham bar Hiyya (Savasorda); i lejlighedsvise spekulationer-mere filosofiske end matematiske—af middelalderens skolastik; i en passage af Leonardo da Vinci; i Keplers Nova stereometria doliorum (Lins, 1615). Ved en opfattelse, der adskiller sig fra Cavalieris, behandles udelelige af Galileo i hans Discorsi e dimostrasioni matematiche intorno a due nuove videnskab.

I Cavalieri kommer vi til en rationel systematisering af metoden for udelelige, en metode, der ikke kun anses for nyttig i søgen efter nye resultater, men også i modsætning til hvad Archimedes antog, betragtes som gyldig, når den er passende modificeret, med det formål at demonstrere sætninger.

på dette tidspunkt opstår et primært spørgsmål:Hvilken betydning tilskriver Cavalieri sine udelelige? Selvom denne matematiker er helt fortrolig med de subtile filosofiske spørgsmål, der er forbundet med problemet med muligheden for at udgøre kontinuerlige størrelser ved udelelige, søger han at etablere en metode uafhængig af fagets hypoteser, som ville være gyldig uanset hvilket koncept der blev dannet i denne henseende. Mens Galileo hævdede,” den højeste og den ultimative, selvom de primære komponenter i den kontinuerlige, er uendelige udelelige ” (opere, VII, 745-750),

Cavalieri turde ikke hævde, at den kontinuerlige er sammensat af udelelige elementer, om hvilke han ikke gav en eksplicit definition, og han afklarede heller ikke, om de var faktiske eller potentielle uendelige. Det er også sandsynligt, at Cavalieris opfattelse af hans udelelige gennemgik en ændring, og at disse blev født som faktiske uendelige dyr (som Galileos) og voksede til at blive potentielle uendelige dyr (se G. Cellini). Det skal yderligere påpeges, ifølge L. Lombardo Radice, at Cavalieri-visningen af de udelelige har givet os en dybere opfattelse af sættene: det er ikke nødvendigt, at elementerne i sættet tildeles eller tildeles; snarere er det tilstrækkeligt, at der findes et præcist kriterium til bestemmelse af, om et element hører til sættet eller ej.

bortset fra eventuelle filosofiske overvejelser om arten af udelelige, er bestemmelsen af areal og mængder foretaget af Cavalieri baseret på det princip, der bærer hans navn, som kan formuleres som følger:

Hvis to planfigurer, der er skåret af et sæt parallelle lige linjer, krydser hinanden på hver af disse lige linjer lige akkorder, er de to figurer ækvivalente; hvis akkorderne, der vedrører en enkelt lige linje i sættet, har et konstant forhold, opnås det samme forhold mellem de to figurer.

tilsvarende i rummet: hvis sektionerne af to faste stoffer opnået ved hjælp af planer, der er parallelle med hinanden, er ækvivalente to efter to, er de to faste stoffer ækvivalente; hvis de to sektioner opnået med et givet plan har et konstant forhold, når planet varieres, har de to faste stoffer et forhold, der er lig med forholdet for to af deres sektioner opnået med et samme plan.

set fra moderne uendelig analyse bekræfter Cavalieri-princippet i det væsentlige, at to integraler er ens, hvis integrandene er ens, og integrationsgrænserne også er ens. Desuden kan en konstant, der vises som en multiplikator i integranden, udføres af integrationstegnet uden at få integralens værdi til at variere.

imidlertid var begrebet integralet ifølge definitionen af A. Cauchy ikke netop I Cavalieri ‘ s matematiske tanke, men blev snarere undersøgt af P. Mengoli, hans discipel og efterfølger i stolen i Bologna. Cavalieri forfulgte mange veje for at demonstrere sit princip, og de findes i bog VII i hans geometri.

lad os overveje sagen i plangeometri, hvor de tilsvarende akkorder af de givne figurer på hypoteserne af det angivne princip er ens i par (se Fig. 1). Cavalieri overlejrer derefter gennem en oversættelse i retning af de pågældende parallelle lige linjer to lige akkorder. De dele af figuren, der således er overlejret, er derfor ækvivalente eller snarere lige, fordi de er kongruente. De resterende dele eller rester, som ikke er overlejret, vil stadig opfylde betingelserne i forhold til akkorderne, der var opfyldt i den oprindelige figur. På denne måde kan man fortsætte med successive superpositioner ved Oversættelse, og det er umuligt på et givet tidspunkt i de successive operationer, at den ene figur udtømmes, medmindre den anden også er. Cavalieri konkluderer

, at de givne tal derfor er ækvivalente. Argumentet er genialt og intuitivt, men det indeholder et svagt punkt, idet det ikke bevises,at resterne i de beskrevne operationer bliver udmattede ;det er heller ikke fastslået, at summen af sådanne rester kan gøres mindre end en given overflade. Ikke desto mindre hævder Cavalieri,som svar på Guldins indvendinger, at eliminering af resterne i en af figurerne og dermed i den anden kan udføres ved hjælp af uendelige operationer. Den anden demonstration

af Cavalieri-princippet er lavet af de ældres udmattelsesmetode og er streng for de figurer, der opfylder visse betingelser: det vil sige, demonstrationen er gyldig for figurer, der ud over at tilfredsstille hypotesen om princippet falder ind i en af følgende klasser:

(1) generaliserede parallelogrammer, nemlig figurer inkluderet mellem lige parallelle linjer p og l, der skærer akkorder med konstant længde på lige linjer, der løber i samme retning som p og l (se Fig. 2).

(2) figurae i alteram partem deficientes (“figurer mangelfuld i en anden del”) er inkluderet mellem to parallelle linjer p og l, og derudover reduceres akkorderne, der opfanges af en tværgående linje parallelt med p, når afstanden mellem den tværgående fra den lige linje p øges (se Fig. 3).

(3) tal, der kan opdeles i et begrænset antal dele, der tilhører en af de ovennævnte to klasser (se Fig. 4).

På trods af de nævnte demonstrationer og succesen med metoden for udelelige indgik nutidige matematikere, der var mere knyttet til traditionerne i klassisk matematik, en polemik med Cavalieri, uvidende om, at Archimedes selv allerede havde brugt metoder svarende til dem, som de var imod. Sådan er tilfældet med Guldin, der havde en interessant diskussion med Cavalieri, der er opsummeret i øvelse III af Motionationes geomeiricae køn.

mange resultater, der blev opnået møjsommeligt ved udmattelsesmetoden, blev opnået enkelt og hurtigt gennem Cavalieri-princippet: for eksempel arealet af en ellipse og volumenet af en kugle. Gennem sine metoder havde Cavalieri fundet det resultat, som i dagens symboler ville blive udtrykt som:

for ethvert naturligt tal n (n = 1,2,3,…). Cavalieri var uvidende om, at dette resultat, der vises i Centuria di varii problemi (1639), allerede var fundet allerede i 1636 af Fermat og Roberval, der var ankommet til det på andre måder.

Ved hjælp af metoden til udelelige og baseret på en lemma oprettet af hans elev G. A. Rocca, Cavalieri beviste Guldin-sætningen på arealet af en overflade og volumenet af roterende faste stoffer. Denne sætning, som også vises i visse udgaver af Pappus’ værker, skønt den anses for at være en interpolation, blev udtalt i Centrobaryca af Guldin, der beviste dens rigtighed i visse særlige tilfælde uden dog at give det generelle bevis.

de mest betydningsfulde fremskridt inden for uendelig analyse i overensstemmelse med de linjer, der blev fremsat af Cavalieri, blev foretaget af Evangelista Torricelli. I hans Arithmetica infinitorum (1655), John Muris gør også brug af udelelige.

særligt interessant er udtalelsen fra Cavalieri-metoden udtrykt af Pascal i hans Letires de Dettonville (1658): “alt, hvad der demonstreres af de sande regler for udelelige, vil også og nødvendigvis blive demonstreret som de gamle. Derfor vil jeg i det følgende ikke tøve med at bruge selve det udelelige sprog.”Selvom nye ideer i de følgende år inden for analyse af det uendelige erstattede det gamle på de udelelige, udøvede Cavalieri og Torricellis metoder en dybtgående indflydelse, som Leibnis erkendte i et brev til G. Manfredi: “… i den sublimeste geometri var initiativtagerne og promotorerne, der udførte en Yeomans opgave på dette felt, Cavalieri og Torricelli; senere gik andre endnu videre ved at benytte sig af Cavalieri og Torricellis arbejde.”Mens han antog i sin Principia en kritisk holdning til spørgsmålet om udelelige, brugte han alligevel i sin Tractatus de kvadratura curvarum udtrykket fluens for at indikere en variabel størrelse—et udtryk, der tidligere blev brugt af Cavalieri i hans øvelser geomeiricae køn.

i proposition I af Bog I af geometrien finder vi i geometrisk form sætningen af middelværdi, også kendt som Cavalieri-sætningen. Sætningen præsenteres som løsningen af følgende problem: Givet en plan kurve, forsynet med en tangent på hvert punkt og passerer gennem to punkter A og B, for at finde en lige linje parallelt med AB og tangent til kurven på et tidspunkt på kurven mellem A og B. analytisk har vi: hvis den virkelige funktion f(H) af den virkelige variabel er kontinuerlig i intervallet (a, b) og på hvert punkt inden for dette interval er det differentierbart, mindst et punkt af eksisterer sådan, at en<<B, så

logaritmer blev introduceret i matematik i Napiers arbejde i 1614. I Italien blev sådanne værdifulde hjælpestoffer til numerisk beregning introduceret af Cavalieri sammen med bemærkelsesværdig udvikling inden for trigonometri og applikationer til astronomi. I den forbindelse kan vi nævne Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639) og Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (1643). Direktoriet, Pratica og Trigonometria indeholder desuden fremragende logaritmictrig-onometriske tabeller.

i Centuria behandlede Cavalieri emner som den generelle definition af cylindriske og koniske overflader, formler til bestemmelse af volumenet af en tønde og kapaciteten af en hvælving med spidse buer og midlerne til at opnå fra logaritmerne af to tal logaritmen af summen eller forskellen, et problem, der efterfølgende blev taget op af forskellige matematikere. Gauss blandt andre. Lo specchio ustorio (“det brændende glas”) indeholder nogle interessante historiske data om oprindelsen af teorien om konikerne blandt grækerne; ifølge Cavalieri findes oprindelsen i de gnomoniske krav. I dette arbejde finder vi en teori om conics med applikationer til optik og akustik. Blandt de førstnævnte bemærker vi ideen om det reflekterende teleskop—hvoraf—ifølge Piola og Favaro-Cavalieri var den første opfinder, der gik forud for Gregory og Nyton; bestemmelse af brændvidden af en linse med ujævn sfæricitet og forklaringer af det brændende glas Archimedes, inden for akustik, Cavalieri forsøgte den arkæologiske rekonstruktion af resonansvaser nævnt af Vitruvius og brugt i teatre til forstærkning af lyd.

i dette arbejde vises forskellige punktvise konstruktioner af conies. Mere interessant er stadig de konstruktioner, der er givet i geometrien og i øvelserne, opnået ved hjælp af projektive blyanter, der gik forud for Steiner ‘ s arbejde.

et delikat spørgsmål vedrører de astrologiske aktiviteter, som Cavalieri engagerede sig i i kraft af sit kontor, men som påpeget af D ‘ Aviso var han imod forudsigelser baseret på stjernernes position og siger det i slutningen af hans Pratica astrologica.

bibliografi

I. originale værker. Cavalieris værker inkluderer Directorium generer uranometricum (Bologna, 1632); Geometria udeleligbilibus continuorum nova firkant ratione promota Bologna, 1635; 2.udgave., 1653). Oversat til Russisk af S. J. Lure (Moskva-Leningrad, 1940). Oversat til italiensk, B Luc Lucio Lombardo-Radice,som geometri af udelelige af Bonaventura Cavalieri ,Ith kompendium af reglerne for trekanter med deres demonstrationer (Bologna, 1638); Centuria di varii problemi (Bologna, 1639); Nuova pratica astromlogica (Bologna, 1639); Prima logaritmisk tabel. Anden logaritmisk tabel. Kommentarer i arbejdet og rettelser af de mest bemærkelsesværdige fejl( Bologna, n. d.); tillæg til den nye astrologiske praksis (Bologna. 1640); Triganometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (Bologna, 1643); Afhandling om det evige planethjul (Bologna, 1646); og geometri

II. sekundær Lit se U. D ‘ aviso, “livet til P. Buonaventura Cavalieri”, i afhandling af sfæren (Rom 1682); G. Piola, ros af Bonaventura Cavalieri (Milano, 1844); A. Bonaventura Cavalieri i studiet af Bologna (Bologna, 1885); E. Bortolotti, “fremskridtet i Bologna (Bologna, 1885); uendelig lille metode i torricellis geometriske arbejde”, i tidsskrift for matermatiche, 4.ser., 8 (1928), 19–59; “Opdagelsen og efterfølgende generaliseringer af en grundlæggende sætning af integreret beregning”, i Arkiv for Storia della videnskab (1924), s.205-227; F. Conforto, “det videnskabelige arbejde fra Bonaventura Cavalieri og Evangelista Torricelli”, i sager fra Pisa-konferencen (23. -27. September. 1948), s.35-56; A. Masotti. “Helligdag af Bonaventura Cavalieri”, i rapporter Moderna Lstituto Lombardo di sciense e lettere, del generable og officielle handlinger, 81 (1948), 43-86; G. Castelnuovo, oprindelsen af uendelig lille beregning i den moderne æra (Milano, 1962), s.43-53; G. Cellini. “De udelelige i den matematiske og filosofiske tanke om Bonaventure Cavalieri”, i Journal of mathematics, 4.ser., 44 (1966), 1-21; “riddernes demonstrationer af hans., princip”, ibid., s. 85-105.

Ettore Carruccio