Zvažte následující hra: jsem napsat náhodné reálné číslo mezi 0 a 1, a požádat, abyste hádat. Jaká je pravděpodobnost, že to uhodnete správně? Odpověď je nulová. Možná se divíte: „ale je možné, abych uhodl správnou odpověď! To znamená, že pravděpodobnost musí být větší než nula!“a měli byste být oprávněni přemýšlet, ale mýlili byste se. Je pravda, že události, které jsou nemožné, mají nulovou pravděpodobnost, ale konverzace obecně není pravdivá. Ve zbytku tohoto příspěvku, ukážeme, proč byla výše uvedená odpověď ve skutečnosti nulová, a proč to nemusí nenapravitelně poškodit váš současný světonázor.

Začněme tím, že ukážeme, že pravděpodobnost, že uhodnete moje číslo správně, je nula. Nechť je pravděpodobnost v pochybnost. Hlavní myšlenkou je ukázat, že pro jakékoli kladné reálné číslo . Víme, že , a pokud je menší než jakékoliv kladné číslo, pak musí být nula! Argument je následující. Zavoláme na číslo, které jsem náhodně vybral . Představte si, že interval je natřen bíle. Vyberte libovolné kladné reálné číslo . Pak tam je sub-interval délky v intervalu obsahující . Představte si, že tento dílčí interval je namalován černě, takže nyní máme černý pruh délky na původním bílém proužku a číslo, které jsem si vybral, bylo v černém proužku. Jaká je pravděpodobnost, že váš odhad přistane na černém proužku? Musí to být , protože to je podíl bílého pruhu, který je pokryt. Ale aby váš odhad na rovné moje číslo , to má přistát v černé pásy, takže pravděpodobnost, hádání nemůže být větší než pravděpodobnost, že číslo na černý pás! Proto .

nyní byste měli být přesvědčeni, že tato událost má skutečně nulovou pravděpodobnost, že se stane, ale stále je to pravda. Tento jev je způsoben následující geometrickou skutečností: je možné mít neprázdnou sadu s nulovým „objemem“. Termín „objem“ závisí na kontextu; v případě bodu v intervalu je“ objem “ délka. Pravděpodobnost události měřené v intervalu se rovná její délce a jediný bod v intervalu má nulovou délku, přesto je to stále neprázdná podmnožina intervalu! Pravděpodobnost je v podstatě míra „objemu“, kde celý prostor má „objem“ rovný 1. Definováním pravděpodobnosti tímto způsobem můžeme dokázat všechny druhy úhledných faktů pomocí něčeho, co se nazývá teorie míry.

Chcete-li shrnout, měli byste se z tohoto příspěvku naučit následující:

• pravděpodobnost, Že náhodně výběrem konkrétní číslo v intervalu je rovna nule
• Události, které mají nulovou pravděpodobnost, že jsou stále možné