(nar. Milán, Itálie, pravděpodobně 1598; d. Bologna, Itálie, 30. Listopadu 1647). matematik.
Cavalieri je datum narození je nejisté; dale výše uvedené je jedním citované Urbano d’Aviso, žák a životopisec Cavalieri. Jméno Bonaventura nebylo jeho křestní jméno, ale spíše jméno jeho otce. Je to jméno, které matematik přijal, když jako chlapec vstoupil do Jesuatského náboženského řádu, přívrženců vlády sv. Cavalieri byl přijat v menší objednávky v Miláně v roce 1615 a 1616 převedena na Jesuati kláštera v Pise, kde měl to štěstí, že setkání Benediktinský mnich Benedetto Castelli, který studoval s Galileo v Padově a byl v té době docentem v matematiky v Pise. Prostřednictvím něj byl Cavalieri zasvěcen do studia geometrie. Rychle vstřebal klasická díla Euclida, Archimedes. Apollonius, a Pappus, prokazující tak výjimečné schopnosti, že někdy nahradil svého učitele na univerzitě v Pise. Castelli ho představil Galileovi, jehož žák se vždy považoval za sebe. Napsal Galileo nejméně 112 dopisů, které jsou zahrnuty v národním vydání Opere di Galileo; pouze dva Galileovy dopisy Cavalieri k nám však přišly.
V roce 1620 Cavalieri se vrátil do Říma rozkazy svých nadřízených, a v roce 1621 byl vysvěcen jáhnem, aby Kardinála Federiga Boromejského, který držel Fra‘ Bonaventura ve velké vážnosti a ochotně diskutovali matematiky s ním; kardinál následně napsal dopis, chválit ho, aby Galileo. Cavalieri bylo sotva jednadvacet, když učil teologii v klášteře San Girolamo v Miláně, přitahuje pozornost jeho hlubokou znalostí předmětu.
během svého milánského období (1620-1623) Cavalieri vyvinul své první myšlenky na metodu nedělitel, jeho hlavní příspěvek k matematice. V letech 1623 až 1626 byl převorem sv. Petra v Lodi. Později byl hostem v Římě Monsignora Ciampoli, kterému později zasvětil svou geometrii. V letech 1626 až 16291 byl převorem kláštera Jesuati v Parmě a marně doufal, že bude jmenován lektorem matematiky na tamní univerzitě. Na podzim roku 1626 při cestě z Parmy do Milána onemocněl dnou, kterou trpěl od dětství a která ho měla sužovat až do konce života. Tato nemoc ho udržovala v Miláně několik měsíců. 16. Prosince 1627 oznámil Galileovi a kardinálu Borromeovi, že dokončil svou geometrii. V roce 1628, učení, že místo lektora na Bologna se staly uvolnilo přes smrt astronom G. a. Magini, napsal Galileo za pomoc při zajištění jmenování. Galileo, v 1629, napsal Cesare Marsili, gentleman Bologna a člen Accademia dei Lincei, který byl pověřen najít nového lektora matematiky. Ve svém dopise, Galileo řekl Cavalieri, “ jen málo, jestli nějaký, od Archimedes, se ponořili tak daleko a tak hluboko do vědy o geometrii.“Na podporu jeho žádosti do Bologna pozici, poslal Cavalieri Marsili jeho geometrie rukopis a malé pojednání o kuželovitý oddíly a jejich aplikace v optice. Galileovo svědectví, jak mu napsal Marsili. Přiměl „pány pluku“ svěřit první křeslo v matematice Cavalieri, který ji držel nepřetržitě od roku 1629 až do své smrti.
Ve stejné době, kdy byl jmenován převorem kláštera jeho vlastní pořadí, v Bologna, konkrétně v Kostele Santa Maria della Mascarella, které mu umožní pokračovat bez nějaké překážky, jak jeho práce v matematice a jeho univerzitní výuka. Během období, kdy Cavalieri učil v Bologni, vydal v tomto městě jedenáct knih, včetně Geometria (1635).
Cavalieri je teorie, vyvinuté v této práci a v jiných následně zveřejněna, se týká šetření na drobnosti, vyplývající z oživil zájem v Archimedův‘ práce, které během Renesance byly přeloženy z řečtiny do latiny, s komentáři. Překlady Tartaglia, Maurolico, a Commandino jsou citovány, protože sloužily jako výchozí bod pro nový matematický vývoj.
pouze spisy Archimedes známo sedmnáctého století matematici byly ty založené na striktní metodu vyčerpání, který starověcí matematici řeší otázky, které se nekonečně charakteru bez využití nekonečné nebo skutečné nekonečně malý. Nicméně, skvělí matematici sedmnáctého století byly tak důkladně prostoupena duchem Archimedes, jak ocenit, že kromě „metody vyčerpání“ starověké geometers musel vědět, více zvládnutelné a účinnou metodu pro výzkum. Na tomto místě Torrincelliho napsal:
to bych se neodvážil tvrdit, že tato geometrie indivisibles je vlastně nový objev. Spíše bych měl věřit, že staří geometers využily tuto metodu s cílem zjistit obtížnější věty, i když v jejich demonstrace, které mohou mít přednost jiné možnosti, a to buď skrývat tajemství jejich umění, nebo dovolit žádný důvod pro kritiku ze strany literární kritiky. Ať to bylo cokoliv, je jisté, že tato geometrie představuje úžasné ekonomika práce v demonstrace a vytváří bezpočet, skoro neproniknutelné, věty prostřednictvím stručný, přímý a pozitivní demonstrace, které nauka o starověku byl schopen. Geometrie indivisibles byla skutečně, v matematickém briar bush, takzvaná Královská cesta, a ten, který Cavalieri poprvé otevřel a vyložil pro veřejnost jako zařízení podivuhodného vynálezu .
v roce 1906 J. L. Heiberg našel, v palimpsest patřící do Konstantinopole knihovna, malý psací archimédovy ve formě dopisu Eratosthenes, který vysvětlil metodu, která jsou stejně, objemy, těžiště by mohla být určena. Tato metoda, což byla v souvislosti s postupy Démokritos z Abdéry, považován za rovinou povrchu jsou tvořeny akordy rovnoběžná s danou přímkou, a pevné látky jsou tvořeny z letadla sekcí paralelně k jednomu jiný. Navíc, podle Archimedes, byly aplikovány principy statiky, kde podle čísel, myšlenka jako těžká těla, byla zvážena v ideálním měřítku. „Věřím,“ řekl Archimédes, „že muži mého času a budoucnosti, a to prostřednictvím této metody mohli najít ještě další věty, které mají ještě přijít k mé paměti“ (Rufini, II „Metodo“ di Archimedee le origini del infinitesimale nell’antichità , p. 103). Výzva, kterou Archimedes rozšířil, nebyla přijata, jak víme, jeho současníky a upadla do zapomnění po mnoho staletí.
koncepce indivisibles se občas objeví letmo v dějinách lidského myšlení: například, v průchodu do jedenáctého století hebrejské filozof a matematik Abraham bar Hiyya (Savasorda); v občasných spekulací—více filozofické než matematická—středověké Scholastiky; v průchodu Leonardo da Vinci; v Keplerova Nova stereometria doliorum (Linz, 1615). Pojetím odlišným od Cavalieriho, s indivisibles zachází Galileo v jeho Disorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.
V Cavalieri se dostáváme k racionální systematizace způsob indivisibles, metoda, která nejen, že je považováno za užitečné při hledání nové výsledky, ale také, na rozdíl od co Archimedes předpokládá, je považován za platný, když vhodně upraven pro účely prokázání vět.
v tomto bodě vyvstává primární otázka: jaký význam přisuzoval Cavalieri svým nedělitelům? Tento matematik, zatímco dokonale obeznámeni s jemnou filozofické otázky spojené s problémem možnost představuje kontinuální veličiny podle indivisibles, jehož cílem je stanovit metody nezávislé na subjektu hypotézy, která by byla platná bez ohledu na koncept, tvoří v tomto ohledu. Zatímco Galileo tvrdil, že „nejvyšší a konečný, i když primární složky kontinuální, jsou nekonečné indivisibles“ (Opere, VII, 745-750),
Cavalieri se neodvážil tvrdit, že kontinuální je složen z nedělitelných prvků, o které neměl dát explicitní definice, ani on se objasnit, zda jsou skutečné nebo potenciální drobnosti. Je také pravděpodobné, že Cavalieri pojetí jeho indivisibles podstoupil změnu, a že tyto se narodili jako skutečné drobnosti (jako ti Galileo) a rostl, aby se stal potenciální drobnosti (viz G. Cellini). To musí být dále poukázal na to, podle L. Lombardo Radice, že Cavalieri výhled na indivisibles nám dal hlubší pojetí sady: není nutné, aby prvky množiny přiřadí nebo přiřadit; spíše to stačí, že přesná kritéria existují pro určení, zda prvek patří do množiny.
Docela stranou od nějaké filozofické úvahy o povaze indivisibles, stanovení plochy a objemy vyroben Cavalieri jsou založeny na principu, nesoucí jeho jméno, která může být formulována takto:
Pokud se dvě roviny čísla snížit o sadu rovnoběžné přímky se protínají na každé z těchto přímek, stejné akordy, dvě postavy jsou rovnocenné; v případě, že akordy týkající se jedné přímce sady mají konstantní poměr, stejný poměr získá mezi dvě postavy.
podobně v prostoru: pokud jsou úseky dvou pevných látek získané pomocí rovin, které jsou navzájem rovnoběžné, rovnocenné dva po dvou, jsou obě pevné látky rovnocenné; pokud dva oddíly získané s danou rovinou mají konstantní poměr, když letadlo je pestrá, dvě pevné látky mají poměr, který se rovná, že dva jejich úseky získané u jedné stejné rovině.
Z hlediska moderní infinitezimální analýzy, Cavalieri zásadě potvrzuje v podstatě to, že dva integrály jsou si rovny, pokud integrands jsou rovné a integrace limity jsou také stejné. Navíc, konstanta, která se jeví jako multiplikátor v integrand mohou být prováděny znamení integrace, aniž by došlo hodnota integrálu se liší.
Nicméně, pojem integrál, podle definice A. Cauchy, nebyl právě v matematické myšlení Cavalieri, ale spíše se podíval do P. Mengoli, jeho žák a nástupce v křesle v Bologni. Cavalieri sledoval mnoho cest, aby prokázal svůj princip, a najdete je v knize VII jeho geometrie.
uvažujme případ v rovinné geometrii, kde na hypotézách uvedeného principu jsou odpovídající akordy daných čísel stejné ve dvojicích (viz obr. 1). Cavalieri pak překladem ve směru dotyčných rovnoběžných přímek překrývá dva stejné akordy. Části obrázku, které se tak překrývají, jsou proto rovnocenné nebo spíše stejné, protože jsou shodné. Zbývající části nebo zbytky, které nejsou překryty, budou stále splňovat podmínky vzhledem k akordům, které byly splněny na původním obrázku. Tímto způsobem lze postupovat s následnými superpozicemi překladem a v daném bodě po sobě jdoucích operací není možné, aby byla jedna postava vyčerpána, pokud není také druhá. Cavalieri uzavírá
, že daná čísla jsou tedy rovnocenná. Argument je geniální a intuitivní, ale obsahuje slabé místo v tom, že není prokázáno, že rezidua, v popsaných operací,se stala vyčerpaný, ani není stanoveno, že součet těchto zbytků může být méně, než daný povrch. Nicméně,Cavalieri,v odpovědi na námitky vznesené Guldin, tvrdí, že odstranění reziduí v jedné z postav,tedy v druhé, může být provedena pomocí nekonečné operace. Další ukázka
Cavalieri princip je vyrobena antiky‘ metodu vyčerpání a je nekompromisní pro čísla, která splňují určité podmínky: to znamená, že demonstrace je platné pro údaje, které, kromě uspokojení hypotézu zásadě spadají do jedné z následujících tříd:
(1) Zobecněné rovnoběžníky, konkrétně, údaje zahrnuty mezi rovnoběžné přímky p a l, které se protínají akordy konstantní délky na rovné čáry, které běží ve stejném směru jako p a l (viz Obr. 2).
(2)figurae v alteram partem deficientes („nedostatečné údaje v další části“) jsou zahrnuty mezi dvě rovnoběžné přímky p a l a, kromě toho, akordy zachycena příčná čára, rovnoběžná s p, jak snížit vzdálenost příčných od přímky p se zvyšuje (viz Obr. 3).
(3) obrázky, které lze rozdělit na konečný počet částí patřících do jedné z výše uvedených dvou tříd (viz obr. 4).
bez Ohledu na demonstrace zmínil a úspěch metodou indivisibles, moderní matematici, kteří byli více připojené k tradicím klasické matematiky, vstoupil do polemiky s Cavalieri, netuší, že Archimedes sám měl již používají metody podobné těm, které byly protichůdné. Takový je případ Guldina, který měl zajímavou diskusi s Cavalieri, která je shrnuta ve cvičení III Exercitationes geomeiricae sex.
Mnoho výsledků, které byly pracně získané metodou vyčerpání byly získány jednoduše a rychle přes Cavalieri princip: například, plocha elipsy a objem koule. Cavalieri svými metodami našel výsledek, který by byl v dnešních symbolech vyjádřen jako:
pro jakékoli přirozené číslo n (n = 1,2,3,…). Cavalieri byl vědom toho, že tento výsledek, který se objeví v Centuria di varii problemi (1639), už byl nalezen již v roce 1636 Fermatova a Roberval, kdo přišel na to jiným způsobem.
metodou indivisibles a na základě lemma zřízený jeho žák G. a. Rocca, Cavalieri dokázal Guldin věta o oblasti, plochy a objemu rotačních těles. Tato věta, která se také objevuje v některých vydáních Pappus‘ funguje, i když se konalo být interpolace, byl vysloven v Centrobaryca z Guldin, který se ukázal jeho správnost v určitých zvláštních případech, aniž by však poskytuje obecný důkaz.
nejvýznamnějším pokrokem v oblasti nekonečně malé analýzy podle linií stanovených Cavalierim byl Evangelista Torricelli. Ve svém Arithmetica infinitorum (1655) John Wallis také využívá nedělitelnosti.
Zvláště zajímavý je názor Cavalieri metoda vyjádřené Pascal v jeho Letires de Dettonville (1658): „Vše, co je prokázáno pravda, pravidla indivisibles bude také a nutně být prokázána ve stylu antiky. Z tohoto důvodu, v tom, co následuje, nebudu váhat používat samotný jazyk nedělitelnosti.“I když v následujících letech v oblasti analýzy nekonečně malé, nové nápady nahradil starý na indivisibles, metody Cavalieri a Torrincelliho působící hluboký vliv, jako Leibniz připustil v dopise G. Manfredi: „… v nejdokonalejší geometrie, iniciátorů a promotorů, který provedl zeman je úkol v této oblasti byly Cavalieri a Torrincelliho; později, jiní pokročila ještě dále tím, že využijí práci Cavalieri a Torrincelliho.“Kromě toho, Newton, zatímco za předpokladu, že v jeho Principia kritický postoj ve věci indivisibles, to však v jeho Tractatus de quadratura curvarum, používat termín fluens uvést variabilní velikost—termín dříve používaný Cavalieri v jeho Exerciiationes geomeiricae sex.
v návrhu i knihy i geometrie najdeme v geometrické podobě větu střední hodnoty, známou také jako Cavalieriova věta. Věta je prezentována jako řešení následujícího problému: Vzhledem k rovině křivky, za předpokladu, s tečna v každém bodě a procházející dvěma body a a B, najít přímce rovnoběžné s AB a tečna křivky v určitém bodě na křivce mezi body a a B. Analyticky máme: Pokud je reálná funkce f(x) reálné proměnné x je spojitá v intervalu (a, b) a každý bod uvnitř tohoto intervalu je diferencovatelné, alespoň jeden bod existuje takové, že<<b, tak, že
Logaritmy byly zavedeny do matematiky v práci Napier v roce 1614. V Itálii takové cenné pomocné prostředky k numerickému výpočtu představil Cavalieri, spolu s pozoruhodným vývojem trigonometrie a aplikací v astronomii. V této souvislosti bychom mohli zmínit Directorium generale uranometricum (1632), Compendio delle regole dei triangoli (1638), Centuria di varii problemi (1639), Nuova pratica astrologica (1639), a Trigonometria plana, et sphaerica, linearis et logarithmica (1643). Directorium, Pratica a trigonometrie obsahují navíc vynikající logaritmické onometrické tabulky.
V Centuria, Cavalieri zabývat taková témata jako obecná definice válcové a kuželové plochy, vzorce pro určení objemu sudu a kapacita klenba s lomenými oblouky, a prostředky získávat z logaritmu o dvě čísla logaritmus součtu nebo rozdílu, problém, který byl následně převzat do různých matematici. Gauss mimo jiné. Lo specchio ustorio („Hořící Sklenice“) obsahuje některé zajímavé historické údaje o původu teorie conics mezi Řeky; podle Cavalieriho se původ nachází v gnomonických požadavcích. V této práci najdeme teorii kuželovitosti s aplikacemi v optice a akustice. Mezi bývalé, jsme na vědomí, myšlenka zrcadlový dalekohled, který—podle Piola a Favaro—Cavalieri byl první vynálezce, který předchází Gregory a Newton; určení ohniskové vzdálenosti čočky nerovnoměrné kulovitého tvaru a výklady k pálení skla Archimedes, V oblasti akustiky, Cavalieri pokus o archeologické rekonstrukce rezonanční vázy zmínil Vitruvius a používají v kinech pro zesilování zvuku.
v této práci se objevují různé bodové konstrukce kuželů. Ještě zajímavější jsou konstrukce uvedené v geometrii a v Exercitationes, získané pomocí projektivních tužek, které předcházely práci Steinera.
delikátní otázka se týká astrologické činnosti, které Cavalieri zabývá na základě svého úřadu, ale, jak zdůraznil D’Aviso, on byl na rozdíl od předpovědi na základě postavení hvězd a státy, takže na konci jeho Pratica astrologica.
bibliografie
i.původní díla. Cavalieri díla patří Directorium generovat uranometricum (Bologna, 1632); Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Bologna, 1635, 2. ed., 1653). Přeložil do ruštiny s. J. Lure (Moskva-Leningrad, 1940). Přeložena do italštiny, B Luc Lucio Lombardo-Radice,jako geometrie Indivisibles tím, že Bonaventura Cavalieri ,ith Kompendium pravidel trojúhelníky s jejich demonstrace (Bologna, 1638); Centuria di varii problemi (Bologna, 1639); Nuova pratica astromlogica (Bologna, 1639); Prima logaritmické tabulky. Druhá logaritmická tabulka. Anotace v práci a opravy nejvýznamnějších chyb (Bologna, ND); příloha nové astrologické praxe (Bologna. 1640); Triganometria plana, ET sphaerica, linearis et logarithmica (Bologna, 1643); Pojednání o věčné planetového kola (Bologna, 1646); a geom
II. Sekundární Lit Viz U. D’aviso, „život P. Buonaventura Cavalieri“, v Pojednání Z Oblasti (Řím 1682); G. Piola, chvála Bonaventura Cavalieri (Milan, 1844); A. Bonaventura Cavalieri ve studiu v Bologni (Bologna, 1885); E. Bortolotti, „pokrok infinitezimální metody v geometrické práce Torrincelliho“, v periodiku z matermatiche, 4 ser., 8 (1928), 19–59; „Objev a následné zobecnění základní věty Integrálního počtu“, v Archivio di Storia della scienza (1924), s. 205-227; F. Conforto, „vědecké práce Bonaventura Cavalieri a Evangelisty Torrincelliho“, v Řízení z Pisa konference (23-27 Září. 1948), s. 35-56; a.Masotti. „Oslavy Bonaventura Cavalieri“, v přehledech Moderna Lstituto Lombardo di scienze e lettere, část generable a úřední úkony, 81 (1948), 43-86, G. Castelnuovo, původ infinitezimální kalkul v moderní době (Milan, 1962), s. 43-53; G. Cellini. „Indivisibles v matematické a filozofické myšlení Bonaventura Cavalieri“, v Journal of mathematics, 4 ser., 44 (1966), 1-21; “ rytíři demonstrace jeho., princip“, tamtéž., s. 85-105.
Ettore Carruccio
